5. Упростите выражение \(\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x} - \operatorname{ctg}^2 x\)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Отсюда \(1 - \cos^2 x = \sin^2 x\).

Подставим это в первое слагаемое:

\(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\)

Известно, что \(\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}\). Следовательно, \(\operatorname{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \operatorname{ctg}^2 x = \operatorname{ctg}^2 x - \operatorname{ctg}^2 x = 0\)

Ответ: 0.