8. Прямая \(a\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(C\), и образует с плоскостью угол \(45^{\circ}\). \(A \in a\), точка \(B\) — основание перпендикуляра, опущенного на плоскость \(\beta\) из точки \(A\). \(AC = 9\sqrt{2}\), найдите \(AB\).

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

В данном случае, \(AB\) — это перпендикуляр, опущенный из \(A\) на плоскость \(\beta\), следовательно, \(AB\) — это проекция отрезка \(AC\) на плоскость \(\beta\). Точка \(C\) — точка пересечения прямой \(a\) с плоскостью \(\beta\), поэтому \(BC\) — это проекция отрезка \(AC\) на плоскость \(\beta\).

Таким образом, \(\triangle ABC\) — прямоугольный треугольник с прямым углом \(\angle ABC = 90^{\circ}\).

Угол между прямой \(a\) (которая содержит отрезок \(AC\)) и плоскостью \(\beta\) равен \(\angle ACB = 45^{\circ}\).

В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) отношение противолежащего катета \(AB\) к гипотенузе \(AC\) равно синусу угла \(\angle ACB\):

\(\sin(\angle ACB) = \frac{AB}{AC}\)

\(\sin(45^{\circ}) = \frac{AB}{9\sqrt{2}}\)

Мы знаем, что \(\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AB}{9\sqrt{2}}\)

Теперь выразим \(AB\):

\(AB = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 9\sqrt{2}\)

\(AB = \frac{9 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2}\)

\(AB = \frac{9 \cdot 2}{2}\)

\(AB = 9\)

Ответ: 9.