5. В параллелограмме ABCD точки E и P лежат на диагонали AC; BE ⟂ AC и DP ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABE и CDP. Их гипотенузы равны: AB = CD, так как это противоположные стороны параллелограмма.

Углы между AB и BE и между CD и DP равны: AB ∥ CD, а BE и DP перпендикулярны одной прямой AC. Следовательно, треугольники ABE и CDP равны по гипотенузе и острому углу, поэтому AE = CP.

Поскольку точки расположены на диагонали в порядке A–P–E–C, имеем AP = AE + EP, а CE = CP + PE. Из AE = CP следует AP = CE.

Что и требовалось доказать.