5. Вместо знака * запишите такой одночлен, чтобы многочлен, тождественно равный выражению \( 2x(2x^2 + * - 3x) - 3(-2x^3 + x + 1) \), был многочленом 5-й степени, сумма коэффициентов которого равна 8.

Решение:

Раскроем выражение:

\( 2x(2x^2 + * - 3x) - 3(-2x^3 + x + 1) \)

\( = 4x^3 + 2x\cdot* - 6x^2 + 6x^3 - 3x - 3 \)

\( = 10x^3 + 2x\cdot* - 6x^2 - 3x - 3 \)

Чтобы многочлен был 5-й степени, одночлен, заменяющий \(*\), должен содержать \( x \) в степени, которая при умножении на \( 2x \) даст \( x^5 \). Это означает, что \(*\) должен быть одночленом вида \( kx^4 \).

Тогда выражение станет:

\( 4x^3 + 2x(kx^4) - 6x^2 + 6x^3 - 3x - 3 \)

\( = 4x^3 + 2kx^5 - 6x^2 + 6x^3 - 3x - 3 \)

\( = 2kx^5 + 10x^3 - 6x^2 - 3x - 3 \)

Сумма коэффициентов равна 8:

\( 2k + 10 - 6 - 3 = 8 \)

\( 2k + 1 = 8 \)

\( 2k = 7 \)

\( k = \frac{7}{2} \)

Следовательно, одночлен, заменяющий \(*\), равен \( \frac{7}{2}x^4 \).

Ответ: \( \frac{7}{2}x^4 \).