№ 5. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и AHB, равны; окружностей, описанных около треугольников AHC и BHC, равны.

Пусть радиус описанной около ABC окружности равен R. По формуле для радиуса описанной окружности:

\(R=\dfrac{AB}{2\sin\angle ACB}\).

Так как AH ⟂ BC и BH ⟂ AC, четырёхугольник ABHC вписанный: \(\angle AHB=\angle ACB\) (углы, образованные попарно перпендикулярными прямыми, равны или дополнительны; здесь соответствующие вписанные углы дают нужное равенство синусов). Поэтому \(R_{AHB}=\dfrac{AB}{2\sin\angle AHB}=R\). Аналогично для треугольников AHC и BHC: их описанные радиусы равны, поскольку соответствующие углы имеют равные синусы и общую соответствующую хорду.

Ответ: равенства радиусов выполняются.