Вариант Б2. 3) Средние линии треугольника ABC, вписанного в окружность, равны 3 см, 3√3 см и 6 см. Найдите углы треугольника ABC и радиус окружности.

Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны. Поэтому стороны треугольника равны 6 см, 6√3 см и 12 см. Однако \(6+6\sqrt3<12\) неверно? На самом деле сумма первых двух сторон больше третьей, поэтому треугольник существует.

Пусть сторона 12 см лежит против наибольшего угла C. По теореме косинусов: \(\cos C=(6^2+(6\sqrt3)^2-12^2)/(2\cdot6\cdot6\sqrt3)=-1/\sqrt3\), значит \(C\approx125.26°\). Для угла A, против стороны 6 см, \(\cos A=(12^2+(6\sqrt3)^2-6^2)/(2\cdot12\cdot6\sqrt3)=\sqrt3/2\), поэтому A = 30°. Тогда B ≈ 24.74°.

Радиус описанной окружности: \(R=12/(2\sin C)=6/\sin C=3\sqrt6\) см.

Ответ: углы приблизительно 30°, 24,74°, 125,26°; радиус 3√6 см.