500. Докажите, что данные выражения являются тождественно равными: а) (x + a)(x − b)(x − c) и x³ + (a − b − c)x² + (−ab − ac + bc)x + abc; б) (a + b + x)(a − b − x) и (a − b)(a + b) − x(2b + x); в) (a + x + y)(a + x − y) + y² и (a + x)².

а) Раскроем скобки:

\[ (x+a)(x-b)(x-c)=(x+a)(x^2-(b+c)x+bc) \]

\[=x^3+(a-b-c)x^2+(-ab-ac+bc)x+abc. \]

б) Применим разность квадратов:

\[ (a+b+x)(a-b-x)=a^2-(b+x)^2=a^2-b^2-2bx-x^2. \]

Второе выражение также равно \((a-b)(a+b)-x(2b+x)=a^2-b^2-2bx-x^2\). Значит, выражения тождественно равны.

в) Применим разность квадратов и сократим слагаемые:

\[ (a+x+y)(a+x-y)+y^2=(a+x)^2-y^2+y^2=(a+x)^2. \]

Во всех трёх случаях получены тождественно равные выражения.