506. Найдите значение выражения $$\frac{(a^5)^3 \cdot a^4}{a^{22}}$$ при $$a = 2$$.

Решение:

1. Упростим степень в числителе: \( (a^5)^3 = a^{5 \cdot 3} = a^{15} \)
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{15} \cdot a^4}{a^{22}} \)
3. Упростим числитель: \( a^{15} \cdot a^4 = a^{15 + 4} = a^{19} \)
4. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{19}}{a^{22}} \)
5. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^{19}}{a^{22}} = a^{19 - 22} = a^{-3} \)
6. Представим отрицательную степень в виде дроби: \( a^{-3} = \frac{1}{a^3} \)
7. Подставим значение \( a = 2 \): \( \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)

Ответ: \( \frac{1}{8} \).