509. Найдите значение выражения $$\frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}$$ при $$a = 2$$ и $$b = 7$$.

Решение:

1. Упростим числитель: \( a^{23} \cdot (b^5)^4 = a^{23} \cdot b^{5 \cdot 4} = a^{23} \cdot b^{20} \)
2. Упростим знаменатель: \( (a \cdot b)^{20} = a^{20} \cdot b^{20} \)
3. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{23} \cdot b^{20}}{a^{20} \cdot b^{20}} \)
4. Сократим одинаковые степени: \( \frac{a^{23}}{a^{20}} \cdot \frac{b^{20}}{b^{20}} = a^{23 - 20} \cdot 1 = a^3 \)
5. Подставим значение \( a = 2 \): \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)

Ответ: 8.