511. Найдите значение выражения $$\frac{a^{14} \cdot (b^2)^8}{(a \cdot b)^{15}}$$ при $$a = 3$$ и $$b = 18$$.

Решение:

1. Упростим числитель: \( a^{14} \cdot (b^2)^8 = a^{14} \cdot b^{2 \cdot 8} = a^{14} \cdot b^{16} \)
2. Упростим знаменатель: \( (a \cdot b)^{15} = a^{15} \cdot b^{15} \)
3. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{14} \cdot b^{16}}{a^{15} \cdot b^{15}} \)
4. При делении степеней показатели вычитаются: \( \frac{a^{14}}{a^{15}} \cdot \frac{b^{16}}{b^{15}} = a^{14 - 15} \cdot b^{16 - 15} = a^{-1} \cdot b^1 \)
5. Представим отрицательную степень в виде дроби: \( a^{-1} \cdot b^1 = \frac{b}{a} \)
6. Подставим значения \( a = 3 \) и \( b = 18 \): \( \frac{18}{3} = 6 \)

Ответ: 6.