510. Найдите значение выражения $$\frac{a^{22} \cdot (b^3)^8}{(a \cdot b)^{23}}$$ при $$a = 2$$ и $$b = 8$$.

Решение:

1. Упростим числитель: \( a^{22} \cdot (b^3)^8 = a^{22} \cdot b^{3 \cdot 8} = a^{22} \cdot b^{24} \)
2. Упростим знаменатель: \( (a \cdot b)^{23} = a^{23} \cdot b^{23} \)
3. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{22} \cdot b^{24}}{a^{23} \cdot b^{23}} \)
4. При делении степеней показатели вычитаются: \( \frac{a^{22}}{a^{23}} \cdot \frac{b^{24}}{b^{23}} = a^{22 - 23} \cdot b^{24 - 23} = a^{-1} \cdot b^1 \)
5. Представим отрицательную степень в виде дроби: \( a^{-1} \cdot b^1 = \frac{b}{a} \)
6. Подставим значения \( a = 2 \) и \( b = 8 \): \( \frac{8}{2} = 4 \)

Ответ: 4.