507. Найдите значение выражения $$\frac{(a^3)^5 \cdot a^3}{a^{20}}$$ при $$a = 5$$.

Решение:

1. Упростим степень в числителе: \( (a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15} \)
2. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{15} \cdot a^3}{a^{20}} \)
3. Упростим числитель: \( a^{15} \cdot a^3 = a^{15 + 3} = a^{18} \)
4. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{18}}{a^{20}} \)
5. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^{18}}{a^{20}} = a^{18 - 20} = a^{-2} \)
6. Представим отрицательную степень в виде дроби: \( a^{-2} = \frac{1}{a^2} \)
7. Подставим значение \( a = 5 \): \( \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \)

Ответ: \( \frac{1}{25} \).