52. Дано: правильная пирамида, все рёбра равны 1. Угол между пл. AMD и AKC равен φ. Найти: 3sin²φ.

По рисунку M и K лежат соответственно на рёбрах SD и SC. Поэтому плоскость AMD совпадает с плоскостью ASD, а плоскость AKC — с плоскостью ASC. Их угол — двугранный угол между боковыми гранями с общим ребром AS.

Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной AS. В правильной квадратной пирамиде со стороной основания 1 радиус описанной около основания окружности равен \(1/\sqrt2\), поэтому высота пирамиды равна \(1/\sqrt2\). Вычисление нормалей к плоскостям ASD и ASC даёт \(\cos\varphi=1/\sqrt3\). Следовательно, \(\sin^2\varphi=1-1/3=2/3\).

\[3\sin^2\varphi=3\cdot\frac23=2.\]

Ответ: 2.