56. Дано: AB = 10, BC = 24, AC = 26; углы наклона боковых граней к основанию равны α, где cosα = 0,6. Найти: Sбок пирамиды.

Так как \(10^2+24^2=26^2\), основание ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом B. Его площадь равна \(\frac12\cdot10\cdot24=120\), а полупериметр — 30.

Равенство углов наклона боковых граней к основанию означает, что проекция вершины пирамиды равноудалена от сторон основания. Пусть это расстояние равно r, а высота пирамиды — h. Для каждой боковой грани её высота к стороне основания равна \(r/\cos\alpha\). Тогда

\[S_{\text{бок}}=\frac12(AB+BC+AC)\frac{r}{\cos\alpha}.\]

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности \(r=\frac{10+24-26}{2}=4\). Следовательно,

\[S_{\text{бок}}=30\cdot\frac{4}{0.6}=200.\]

Ответ: 200.