55. Дано: правильная пирамида с высотой, равной 2; двугранный угол при ребре основания равен 30°. Найти: Sбок пирамиды.

Рассмотрим сечение через вершину пирамиды, перпендикулярное ребру основания. В нём высота пирамиды равна 2, угол между апофемой и её проекцией на основание равен 30°. Апофема l — высота боковой грани:

\[\sin30^\circ=\frac{2}{l},\qquad l=4.\]

Апофема основания r равна \(2/\tan30^\circ=2\sqrt3\). Основание правильной пирамиды на рисунке — квадрат, поэтому его сторона равна 2r = 4√3, а периметр — 16√3.

\[S_{\text{бок}}=\frac12Pl=\frac12\cdot16\sqrt3\cdot4=32\sqrt3.\]

Ответ: \(32\sqrt3\).