53. Дано: A…D₁ — правильная призма. Диагональ B₁D образует с боковой гранью угол arctg(√7/7), а с основанием призмы — угол α. Найти: α.

Пусть сторона квадратного основания равна a, высота призмы — h. Рассмотрим боковую грань DCC₁D₁. Перпендикулярная к ней составляющая направления B₁D равна a, а проекция диагонали на эту грань имеет длину \(\sqrt{a^2+h^2}\). Поэтому

\[\tan\angle(B_1D,\text{грань})=\frac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}=\frac{\sqrt7}{7}.\]

Возведём в квадрат: \(a^2/(a^2+h^2)=1/7\), откуда \(h^2=6a^2\).

Проекция B₁D на основание — диагональ BD длины \(a\sqrt2\). Значит,

\[\tan\alpha=\frac{h}{a\sqrt2}=\frac{\sqrt6a}{a\sqrt2}=\sqrt3.\]

Ответ: \(\alpha=60^\circ\).