54. Дано: A…D₁ — правильная призма. Диагональ B₁D образует с боковой гранью угол arctg 1/2, диагональ DC₁ образует с основанием угол β. Найти: β.

Пусть сторона квадратного основания равна a, высота призмы — h. Для диагонали B₁D и боковой грани DCC₁D₁ перпендикулярная составляющая равна a, а длина проекции на грань равна \(\sqrt{a^2+h^2}\). Поэтому

\[\frac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}=\tan\left(\arctan\frac12\right)=\frac12.\]

Отсюда \(4a^2=a^2+h^2\), то есть \(h=\sqrt3a\). Диагональ DC₁ образует с основанием угол β; её проекция на основание равна DC = a, а вертикальная составляющая равна h. Следовательно, \(\tan\beta=h/a=\sqrt3\).

Ответ: \(\beta=60^\circ\).