53. Доказать, что: 1) \(\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=2\); 2) \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3\).

1. Заметим: \(4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2\), \(4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2\). Поэтому \(\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=(\sqrt3+1)-(\sqrt3-1)=2\).
2. Пусть \(u=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\), \(v=\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\). Тогда \(uv=\sqrt[3]{81-80}=1\), а \(u^3+v^3=18\). Поэтому \((u+v)^3=18+3uv(u+v)=18+3(u+v)\). Число \(u+v=3\) удовлетворяет этому равенству: \(27=27\). Следовательно, \(u+v=3\).

Оба равенства доказаны.