54. Упростить выражения: 1) $\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt[4]a-\sqrt[4]b}-\dfrac{\sqrt a+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]a+\sqrt[4]b}$; 2) $\dfrac{a-b}{\sqrt[3]a-\sqrt[3]b}-\dfrac{a+b}{\sqrt[3]a+\sqrt[3]b}$; 3) $\left(\dfrac{a+b}{\sqrt[3]a+\sqrt[3]b}-\sqrt[3]{ab}\right):(\sqrt[3]a-\sqrt[3]b)^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 54. Упростить выражения: 1) \(\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt[4]a-\sqrt[4]b}-\dfrac{\sqrt…$ Фото задания

Accepted Answer

Пусть $x=\sqrt[4]a$, $y=\sqrt[4]b$. Тогда выражение равно $\dfrac{x^2-y^2}{x-y}-\dfrac{x^2+xy}{x+y}=(x+y)-x=y=\sqrt[4]b$.
Пусть $x=\sqrt[3]a$, $y=\sqrt[3]b$. Тогда $\dfrac{x^3-y^3}{x-y}-\dfrac{x^3+y^3}{x+y}=(x^2+xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)=2xy=2\sqrt[3]{ab}$.
При тех же обозначениях: $\dfrac{a+b}{\sqrt[3]a+\sqrt[3]b}=\dfrac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2$. Поэтому числитель равен $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$. Деление даёт $1$.

Ответ: 1) $\sqrt[4]b$; 2) $2\sqrt[3]{ab}$; 3) $1$.