53) \(\frac{1}{3+\sqrt{7}} \cdot \frac{1}{3-\sqrt{7}}\)

Решение:

1. Перемножим дроби: \( \frac{1 \cdot 1}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{1}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} \)
2. Знаменатель представляет собой разность квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \): \( (3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 \)
3. Вычислим: \( 3^2 = 9 \) и \( (\sqrt{7})^2 = 7 \)
4. \( 9 - 7 = 2 \)
5. Таким образом, дробь равна \( \frac{1}{2} \).

Ответ: \(\frac{1}{2}\)