55) $\frac{1}{3+2\sqrt{2}} + \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 55) $\frac{1}{3+2\sqrt{2}} + \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $ (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) $
Знаменатель представляет собой разность квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $: $ 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1 $
Преобразуем первую дробь: $ \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{3-2\sqrt{2}}{1} = 3-2\sqrt{2} $
Преобразуем вторую дробь: $ \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2} $
Сложим полученные выражения: $ (3-2\sqrt{2}) + (3+2\sqrt{2}) $
Приведём подобные слагаемые: $ 3 + 3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 6 $

Ответ: 6

55) \(\frac{1}{3+2\sqrt{2}} + \frac{1}{3-2\sqrt{2}}\)