54. Упростить выражение: 1) $\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\dfrac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$; 2) $\dfrac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\dfrac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$; 3) $\left(\dfrac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}\right):\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 54. Упростить выражение: 1) \(\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\dfrac{\sqrt a+\sqrt…$ Фото задания

Accepted Answer

Пусть $x=\sqrt[4]{a}$, $y=\sqrt[4]{b}$. Тогда $\dfrac{x^2-y^2}{x-y}-\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=x+y-\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=\dfrac{2xy}{x+y}$. Поэтому результат: $\dfrac{2\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$.
Пусть $x=\sqrt[3]{a}$, $y=\sqrt[3]{b}$. Тогда первое слагаемое равно $x^2+xy+y^2$, второе — $x^2-xy+y^2$. Разность равна $2xy=2\sqrt[3]{ab}$.
При тех же обозначениях выражение в первых скобках равно $x^2-xy+y^2-xy=(x-y)^2$. Поэтому $\dfrac{(x-y)^2}{(x-y)^2}=1$.

Ответ: 1) $\dfrac{2\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$; 2) $2\sqrt[3]{ab}$; 3) $1$.