565. Сколькими способами можно представить в виде степени с показателем, отличным от 1, число: а) \(2^{15}\); б) \(2^6\)?

Представление целого числа в виде степени с натуральным показателем больше 1 определяется разложением показателя исходной степени на множители.

а) \(2^{15}\): показатель 15 можно разложить как \(15=3\cdot5\) или \(15=5\cdot3\). Получаем \((2^5)^3\) и \((2^3)^5\). Всего 2 способа.

б) \(2^6\): показатель 6 допускает разложения \(6=2\cdot3\), \(6=3\cdot2\), \(6=6\cdot1\). Поскольку требуются оба показателя, отличные от 1, остаются \((2^3)^2\) и \((2^2)^3\). Однако \(2^6\) также можно записать как \((2^1)^6\), но основание здесь не является составной степенью; стандартное представление с показателями больше 1 даёт два способа.

Ответ: а) 2 способами; б) 2 способами.