568. Докажите, что при любом натуральном k: а) число 3^(4k) оканчивается единицей; б) число 10^k − 1 кратно 3.

а) Сгруппируем множители: \(3^{4k}=(3^4)^k=81^k\). Число 81 оканчивается цифрой 1, поэтому и любая его натуральная степень оканчивается цифрой 1.

б) Так как \(10=1+9\), имеем \(10^k-1=(1+9)^k-1\). По биному Ньютона все слагаемые разности, кроме первого, содержат множитель 9, следовательно, выражение делится на 9, а значит, и на 3.

Что и требовалось доказать.