589. По данным катетам a и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведенную к гипотенузе: а) a=5, b=12; б) a=12, b=16.

а) Сначала найдем гипотенузу c по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$. Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$$. Высота к гипотенузе $$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 30}{13} = \frac{60}{13}$$.
б) Сначала найдем гипотенузу c по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$. Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$$. Высота к гипотенузе $$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 96}{20} = \frac{192}{20} = 9.6$$.
Ответ: а) $$\frac{60}{13}$$ см, б) 9.6 см.