599. Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями равны \(r_1\) и \(r_2\). Найдите площадь сферы, если сечения имеют единственную общую точку.

Обозначим радиус сферы через \(R\), а расстояния от её центра до двух плоскостей — через \(d_1\) и \(d_2\). Для сечений справедливо:

\(d_1^2=R^2-r_1^2\), \(d_2^2=R^2-r_2^2\).

Плоскости взаимно перпендикулярны, поэтому расстояние от центра сферы до линии их пересечения удовлетворяет равенству:

\(d_1^2+d_2^2=R^2\).

Подставим выражения для \(d_1\) и \(d_2\):

\((R^2-r_1^2)+(R^2-r_2^2)=R^2\).

Отсюда \(R^2=r_1^2+r_2^2\). Следовательно, площадь сферы равна

\(S=4\pi R^2=4\pi(r_1^2+r_2^2)\).

Ответ: \(4\pi(r_1^2+r_2^2)\).