6. \(2\cos^2 x+\sin x+1=0\)

Используем тождество \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\): \(2(1-\sin^2 x)+\sin x+1=0\). После упрощения получаем \(2\sin^2 x-\sin x-3=0\), то есть \((2\sin x-3)(\sin x+1)=0\).

Значение \(\sin x=\frac{3}{2}\) невозможно. Остаётся \(\sin x=-1\).

Ответ: \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).