6.6. Найдите корень уравнения \(\left(\frac{1}{5}\right)^{9-x} = 5^{-2x}\)

Решение:

Для решения уравнения \(\left(\frac{1}{5}\right)^{9-x} = 5^{-2x}\) представим \(\left(\frac{1}{5}\right)\) как \(5^{-1}\).

1. Перепишем левую часть уравнения: \(\left(\frac{1}{5}\right)^{9-x} = (5^{-1})^{9-x} = 5^{-(9-x)} = 5^{x-9}\)
2. Теперь уравнение выглядит так: \(5^{x-9} = 5^{-2x}\)
3. Приравняем показатели степеней: \(x - 9 = -2x\)
4. Перенесем члены с \(x\) в одну сторону: \(x + 2x = 9\)
5. Упростим: \(3x = 9\)
6. Найдем \(x\): \(x = \frac{9}{3} = 3\)

Ответ: x = 3.