6.8. Из точки O в указанном порядке выходят лучи OA, OB, OC и OD (рис. 6.31). Известно, что сумма углов AOB и COD равна 180°. Докажите, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.

Обозначим \(\angle AOB=\alpha\), \(\angle BOC=\beta\), \(\angle COD=\gamma\). По условию \(\alpha+\gamma=180°\).

По порядку лучей \(\angle AOC=\alpha+\beta\), а \(\angle BOD=\beta+\gamma\). Угол между внутренними биссектрисами этих углов равен

\(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\beta+\gamma}{2}=\frac{\alpha+\gamma}{2}+\beta=90°+\beta\).

Это угол, содержащий \(\angle BOC\); меньший угол между прямыми-биссектрисами равен \(180°-(90°+\beta)\) только при соответствующем выборе направлений? Для доказательства перпендикулярности нужно учитывать, что направления биссектрис имеют углы относительно OA: первая — \((\alpha+\beta)/2\), вторая — \(\alpha+\beta+\gamma/2\). Их разность равна \((\alpha+\beta+\gamma)/2=90°+\beta/2\), что не всегда 90°. Условие задачи в видимом тексте, вероятно, предполагает дополнительное соотношение/иной порядок лучей на отсутствующем рис. 6.31; без него утверждение не следует из данных. Например, \(\alpha=90°\), \(\gamma=90°\), \(\beta=60°\) дают между биссектрисами 120°, а не 90°.

Для доказательства необходим рисунок 6.31 либо уточнение расположения лучей и определения рассматриваемых углов.