6. Для функции f(x) = 3x² − 4x + 2 найдите первообразную F(x), если известно, что F(−2) = −4

Решение:

1. Найдем общую формулу первообразной \( F(x) \) для функции \( f(x) = 3x^2 - 4x + 2 \): \( F(x) = \int (3x^2 - 4x + 2) dx \)
2. Применим правила интегрирования: \( F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C \)
3. Упростим: \( F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + C \)
4. Используем условие \( F(-2) = -4 \) для нахождения константы \( C \): \( (-2)^3 - 2(-2)^2 + 2(-2) + C = -4 \)
5. Вычислим: \( -8 - 2(4) - 4 + C = -4 \), \( -8 - 8 - 4 + C = -4 \), \( -20 + C = -4 \)
6. Найдем \( C \): \( C = -4 + 20 \), \( C = 16 \)
7. Подставим значение \( C \) в формулу первообразной: \( F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 16 \)

Ответ: \( F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 16 \)