6) $\log_{0,5}x\cdot\log_5x=9\log_5 0,5$

Question

Вопрос: $Фото задания: 6) $\log_{0,5}x\cdot\log_5x=9\log_5 0,5$$ Фото задания

6) $\log_{0,5}x\cdot\log_5x=9\log_5 0,5$

Accepted Answer

ОДЗ: $x>0$. Обозначим $y=\log_5x$. Поскольку $\log_{0,5}x=-\log_5x=-y$ и $\log_5 0,5=-\log_5 2$, получаем $-y^2=-9\log_5 2$.

Здесь важно учесть основание: $\log_{0,5}x=\frac{\ln x}{\ln(1/2)}$, а значит $\log_{0,5}x=-\log_2x$, не $-\log_5x$. Поэтому, положив $y=\log_5x$, имеем $\log_{0,5}x=-y\log_2 5$. Уравнение даёт $y^2=9\frac{\log_5 2}{\log_2 5}=9(\log_5 2)^2$.

Следовательно, $y=\pm3\log_5 2$, то есть $x=5^{\pm3\log_5 2}=2^{\pm3}$.

Ответ: $8$ или $\frac18$.

6) \(\log_{0,5}x\cdot\log_5x=9\log_5 0,5\)

Ответ: