6. На продолжении стороны ВС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку D так, что CD = АС и точка С находится между точками В и D. Найдите величину угла ADC если угол АВС равен 36°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Задание 6. Равнобедренный треугольник и углы

Дано:

• Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
• Точка D на продолжении BC так, что C между B и D.
• \( CD = AC \).
• \( \angle ABC = 36^\circ \).

Найти: \( \angle ADC \).

Решение:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны:

\[ \angle BAC = \angle BCA \]

Сумма углов в треугольнике ABC равна \( 180^\circ \):

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ \]

\[ \angle BAC + 36^\circ + \angle BAC = 180^\circ \]

\[ 2 \angle BAC = 180^\circ - 36^\circ \]

\[ 2 \angle BAC = 144^\circ \]

\[ \angle BAC = 72^\circ \]

Значит, \( \angle BCA = 72^\circ \).

2. Рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что \( CD = AC \), значит, треугольник ADC — равнобедренный. Углы при основании AD равны:

\[ \angle CAD = \angle CDA = \angle ADC \]

Угол \( \angle BCA \) является внешним для треугольника ADC. Внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Но здесь \( \angle BCA \) — это угол \( \angle ACB \) из треугольника ABC. Угол \( \angle ACD \) является смежным с \( \angle ACB \) и составляет \( 180^\circ \).

\[ \angle ACD = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \]

Теперь найдем \( \angle ADC \) в равнобедренном треугольнике ADC:

\[ \angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ \]

\[ \angle ADC + \angle ADC + 108^\circ = 180^\circ \]

\[ 2 \angle ADC = 180^\circ - 108^\circ \]

\[ 2 \angle ADC = 72^\circ \]

\[ \angle ADC = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \]

Ответ: 36