6. На продолжении стороны ВС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку D так, что CD = АС и точка С находится между точками В и D. Найдите величину угла ADC если угол АВС равен 36°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Задание 6. Равнобедренный треугольник и продолжение стороны

Дано:

• \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), следовательно \( AB = BC \).
• \( \angle ABC = 36^{\circ} \)
• Точка D на продолжении стороны BC (C между B и D).
• \( CD = AC \)

Найти: \( \angle ADC \)

Решение:

1. Найдем углы при основании \( AC \) в равнобедренном \( \triangle ABC \). Сумма углов треугольника \( 180^{\circ} \).
2. \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - \angle ABC}{2} \)
3. \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 36^{\circ}}{2} = \frac{144^{\circ}}{2} = 72^{\circ} \).
4. Так как \( \angle BCA \) и \( \angle ACD \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^{\circ} \).
5. \( \angle ACD = 180^{\circ} - \angle BCA = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).
6. Рассмотрим \( \triangle ACD \). По условию \( CD = AC \), значит, \( \triangle ACD \) — равнобедренный.
7. Углы при основании \( AD \) в \( \triangle ACD \) равны: \( \angle CAD = \angle CDA = \angle ADC \).
8. Сумма углов в \( \triangle ACD \): \[ \angle ACD + \angle CAD + \angle ADC = 180^{\circ} \]
9. \( 108^{\circ} + 2 \angle ADC = 180^{\circ} \)
10. \( 2 \angle ADC = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \)
11. \( \angle ADC = \frac{72^{\circ}}{2} = 36^{\circ} \).

Ответ: 36