6. Найдите корень уравнения \(\log_{4}37 + \log_{4}(2x-8) = \log_{4}74\)

Решение:

Для решения этого логарифмического уравнения воспользуемся свойством логарифмов: \(\log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N)\).

Применим это свойство к левой части уравнения:

\[ \log_{4}(37 \cdot (2x-8)) = \log_{4}74 \]

Теперь, когда у нас есть логарифмы с одинаковым основанием по обе стороны уравнения, мы можем приравнять их аргументы:

\[ 37 \cdot (2x-8) = 74 \]

Разделим обе части уравнения на 37:

\[ 2x-8 = \frac{74}{37} \]

\[ 2x-8 = 2 \]

Решим полученное линейное уравнение:

\[ 2x = 2 + 8 \]

\[ 2x = 10 \]

\[ x = \frac{10}{2} \]

\[ x = 5 \]

Необходимо проверить, что аргумент логарифма \(2x-8\) положителен при \(x=5\): \(2\cdot 5 - 8 = 10 - 8 = 2 > 0\). Условие выполнено.

Ответ: 5