6. Петя нарисовал граф, все вершины которого пронумерованы всеми двузначными числами от 10 до 99. Ребром соединены каждые две вершины, у которых разность номеров не равна 7. Вася отметил в графе N вершин и рёбра между ними. У него получился полный граф (в нём любые две вершины соединены ребром). При каком наибольшем N такое возможно?

Выбранные вершины не должны иметь номера, отличающиеся на 7. Разобьём числа от 10 до 99 на цепочки, соединённые шагом 7. Получаются шесть цепочек по 13 чисел и одна цепочка из 12 чисел.

В цепочке длины \(m\) можно выбрать не более \(\lceil m/2\rceil\) чисел, чтобы никакие два выбранных не отличались на 7. Поэтому максимум равен \(6\cdot7+6=48\). Он достигается, если выбирать через одно число в каждой цепочке.

Ответ: 48 вершин.