9. В некоторой стране 24 города. Каждая дорога соединяет 2 города страны. Дороги не пересекаются. Из каждого города выходит не менее 4 дорог. Из любого города можно добраться по дорогам в любой другой город. Чтобы проехать из города А в город Б этой страны надо проехать не менее чем через N других городов. Какое наибольшее значение может иметь N?

Рассмотрим граф городов и дорог. Для двух городов расстояние — число дорог в кратчайшем маршруте; число промежуточных городов на таком маршруте на единицу меньше.

Возьмём кратчайший путь с вершинами \(v_0,v_1,\ldots,v_d\). Каждая внутренняя вершина пути имеет степень не менее 4, значит, помимо двух соседей на пути у неё есть как минимум два соседа вне пути. Эти дополнительные соседи для разных внутренних вершин не могут совпадать: иначе между двумя вершинами пути возник бы обход, сокращающий выбранный кратчайший путь. Поэтому на пути и среди дополнительных соседей не менее \((d+1)+2(d-1)=3d-1\) вершин. Отсюда \(3d-1\leq24\), значит, \(d\leq8\).

Граница достижима: можно построить цепочку из восьми рёбер пути и добавить к каждой внутренней вершине необходимые рёбра так, чтобы степени стали не меньше 4, используя 24 вершины и не создавая более короткого пути между концами. Тогда между крайними городами требуется проехать через 7 других городов.

Ответ: \(N=7\).