8. Прошёл однокруговой футбольный турнир. В нём приняли участие 10 команд. Каждые две команды сыграли между собой один матч. За победу команда получала 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0. Победитель набрал 14 очков, четыре команды набрали по 9 очков, три — по 8 очков, одна команда набрала 3 очка и одна — 2. Сколько ничьих было на турнире?

Всего сыграли \(\binom{10}{2}=45\) матчей. Если бы все матчи завершились не вничью, суммарно команды получили бы \(45\cdot3=135\) очков.

Фактическая сумма очков: \(14+4\cdot9+3\cdot8+3+2=79\).

Каждая ничья уменьшает общую сумму очков на 1 по сравнению с матчем с победителем и проигравшим. Значит, число ничьих равно \(135-79=56\).

Ответ: 56 ничьих.