6. Плоскости α и β параллельны. Дано: прямые a и b пересекаются в точке M; по рисунку MA = 6, AB = 4, AA₁ = 3, MB₁ = 12. Найти: A₁B₁, MB и BB₁.

Точки M, A, A₁ лежат на одной прямой, причём A находится между M и A₁. Поэтому \(MA_1=MA+AA_1=6+3=9\).

Треугольники MAB и MA₁B₁ подобны: их стороны AB и A₁B₁ лежат в параллельных плоскостях, а соответствующие вершины находятся на одних прямых через M. Коэффициент подобия большего треугольника к меньшему равен \(MA_1/MA=9/6=3/2\).

Тогда \(A_1B_1=AB\cdot 3/2=4\cdot 3/2=6\).

Из подобия \(MB_1/MB=3/2\), значит \(MB=12\cdot 2/3=8\). Так как M, B и B₁ расположены на одной прямой, причём B между M и B₁, получаем \(BB_1=MB_1-MB=12-8=4\).

Ответ: \(A_1B_1=6\), \(MB=8\), \(BB_1=4\).