6. \(\sqrt{x^2+2x+10}=2x-1\)

Правая часть должна быть неотрицательной: \(2x-1\ge0\), то есть \(x\ge\frac12\). Возведём обе части в квадрат:

\(x^2+2x+10=(2x-1)^2\).

\(x^2+2x+10=4x^2-4x+1\), поэтому \(3x^2-6x-9=0\).

После деления на 3: \(x^2-2x-3=0\), или \((x-3)(x+1)=0\).

Корни: \(x=3\) и \(x=-1\). Условию \(x\ge\frac12\) удовлетворяет только \(x=3\).

Ответ: \(x=3\).