6. Стрелок делает 6 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 2/3. Найти вероятность того, что он попал 4 раза.

Задание 6. Вероятность попаданий при серии выстрелов

Эта задача решается с помощью формулы Бернулли, так как у нас есть фиксированное число испытаний (выстрелов), два возможных исхода (попадание или промах) и вероятность каждого исхода постоянна.

Формула Бернулли:

\[ P_n(k) = C_n^k × p^k × q^{n-k} \]

Где:

• \(n\) — общее число испытаний (выстрелов) = 6.
• \(k\) — число успешных исходов (попаданий) = 4.
• \(p\) — вероятность успеха (попадания) = \(\frac{2}{3}\).
• \(q\) — вероятность неудачи (промаха) = \(1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).
• \(C_n^k\) — число сочетаний из \(n\) по \(k\), которое вычисляется как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

1. Найдем число сочетаний \(C_6^4\):

\[ C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 × 5 × 4!}{4! × 2 × 1} = \frac{6 × 5}{2} = 15 \]

2. Рассчитаем вероятности попаданий и промахов:

• \(p^k = (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}\)
• \(q^{n-k} = (\frac{1}{3})^{6-4} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\)

3. Подставим всё в формулу Бернулли:

\[ P_6(4) = 15 × \frac{16}{81} × \frac{1}{9} = \frac{15 × 16}{81 × 9} = \frac{240}{729} \]

Можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

\[ \frac{240}{729} = \frac{80}{243} \]

Ответ: 80/243.