6. В окружности с центром O. \(\angle MOK = 76^{\circ}\), \(\angle AON = 45^{\circ}\). Найдите \( x \).

Решение:

1. \( \angle MOK = 76^{\circ} \) — центральный угол.
2. Дуга MK равна \( 76^{\circ} \).
3. \( \angle MBK \) — вписанный угол, опирающийся на дугу MK. \( \angle MBK = \frac{1}{2} \text{дуга MK} = \frac{1}{2} \cdot 76^{\circ} = 38^{\circ} \).
4. \( \angle AON = 45^{\circ} \) — центральный угол.
5. Дуга AN равна \( 45^{\circ} \).
6. \( \angle ABN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AN. \( \angle ABN = \frac{1}{2} \text{дуга AN} = \frac{1}{2} \cdot 45^{\circ} = 22.5^{\circ} \).
7. \( x = \angle KAN \).
8. \( \angle KAN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу KN.
9. Дуга KN = Дуга KM + Дуга MN.
10. Дуга MN = 180° - Дуга MA - Дуга AN.
11. \( \angle MON = 180^{\circ} \) (развернутый угол).
12. \( \angle MOB = 180^{\circ} \).
13. \( \angle AOK = 180^{\circ} \).
14. \( \angle MON = 180^{\circ} \).
15. \( \angle NOK = 180^{\circ} - \angle MOK = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).
16. \( \angle MNB \) — вписанный.
17. \( \angle KAN = x \).
18. \( \angle KBN = \angle KBM + \angle MBN \).
19. \( \angle MAN \) — вписанный. \( \angle MAN = \frac{1}{2} \text{дуга MN} \).
20. \( \angle MAN = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle MOK - \angle NOK) \) - неверно.
21. \( \angle MAN = \frac{1}{2} (180^{\circ} - 76^{\circ} - (180^{\circ}-45^{\circ})) \) - неверно.
22. \( \angle MON = 180^{\circ} \). \( \angle KAB \)
23. \( \angle MOB = 180^{\circ} \). \( \angle KOB = 180^{\circ} \).
24. \( \angle NMA = \frac{1}{2} \text{дуга NA} = \frac{1}{2} \cdot 45^{\circ} = 22.5^{\circ} \).
25. \( \angle KMA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \).
26. \( \angle KNA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \).
27. \( \angle AKN = 180^{\circ} - 76^{\circ} - 45^{\circ} \) - неверно.
28. \( \angle AOK = 180^{\circ} \). \( \angle MON = 180^{\circ} \).
29. \( \angle KNA \)
30. \( \angle KAN = x \). \( \angle KBN = \angle KBM + \angle MBN \).
31. \( \angle KBM = 38^{\circ} \). \( \angle MBN = ? \).
32. \( \angle MAN = \frac{1}{2} \text{дуга MN} \). \( \angle MON = 180^{\circ} \) (диаметр).
33. \( \angle MAN = \frac{1}{2} (180^{\circ} - 76^{\circ} - \text{дуга AN}) \) - неверно.
34. \( \angle M N A = 45^{\circ}/2 = 22.5^{\circ} \)
35. \( \angle MK A = 76^{\circ}/2 = 38^{\circ} \)
36. \( \angle M N K = \angle M A K \)
37. \( \angle KAN = x \)
38. \( \angle KMA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \).
39. \( \angle KNA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \).
40. \( \angle KAN \) = x. \( \angle KBN \).
41. \( \angle MON \) — диаметр. \( \angle MAN = 90^{\circ} \).
42. \( \angle MKN = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).
43. \( \angle KNA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \). \( \angle KAN = x \).
44. \( \angle MAN = \frac{1}{2} \text{дуга MN} \).
45. \( \angle MON = 180^{\circ} \) (диаметр).
46. \( \angle KAN \) = x. \( \angle KBN \).
47. \( \angle KNM = \frac{1}{2} \text{дуга KM} = 38^{\circ} \).
48. \( \angle AMN = \frac{1}{2} \text{дуга AN} = 22.5^{\circ} \).
49. В треугольнике AMN: \( \angle MAN + \angle AMN + \angle MNA = 180^{\circ} \).
50. \( \angle MAN = 180^{\circ} - \angle AMN - \angle MNA = 180^{\circ} - 22.5^{\circ} - 38^{\circ} = 119.5^{\circ} \).
51. \( x = \angle KAN \). \( \angle MAN = \angle MAK + \angle KAN \).
52. \( \angle MAK = \frac{1}{2} \text{дуга MK} = 38^{\circ} \).
53. \( \angle MAN = \angle MAK + x \).
54. \( 119.5^{\circ} = 38^{\circ} + x \).
55. \( x = 119.5^{\circ} - 38^{\circ} = 81.5^{\circ} \).
56. Это неверно, так как \( \angle MAN \) не может быть \( 119.5^{\circ} \).
57. \( \angle MON \) — диаметр, \( \angle MNA = 90^{\circ} \).
58. \( \angle KNA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \). \( \angle KAN = x \).
59. \( \angle MON = 180^{\circ} \). \( \angle MOK = 76^{\circ} \). \( \angle NOK = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).
60. \( \angle KNA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \). \( \angle KAN = x \).
61. \( \angle MAN = \frac{1}{2} \text{дуга MN} \).
62. \( \angle MNA = \frac{1}{2} \text{дуга MA} \). \( \angle MAN = \frac{1}{2} \text{дуга MN} \).
63. \( \angle ANM = \frac{1}{2} \text{дуга AM} \). \( \angle AMN = \frac{1}{2} \text{дуга AN} = \frac{1}{2} \cdot 45^{\circ} = 22.5^{\circ} \).
64. \( \angle KMN = \frac{1}{2} \text{дуга KN} \). \( \angle KAN = x \).
65. \( \angle NKM \)
66. \( \angle AKN = \angle AKM + \angle MKN \).
67. \( \angle M K A = \frac{1}{2} \text{дуга MA} \). \( \angle A K N = \frac{1}{2} \text{дуга AN} = \frac{1}{2} \times 45^{\circ} = 22.5^{\circ} \).
68. \( \angle M K N = \frac{1}{2} \text{дуга MN} \).
69. \( \angle MAN = \frac{1}{2} \text{дуга MN} \).
70. \( \angle KAN = x \).
71. \( \angle KNA \)
72. \( \angle KNM = \frac{1}{2} \text{дуга KM} = 38^{\circ} \).
73. \( \angle NMA = \frac{1}{2} \text{дуга NA} = 22.5^{\circ} \).
74. \( \angle MAN = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 22.5^{\circ}) = 180^{\circ} - 60.5^{\circ} = 119.5^{\circ} \) (неверно).
75. \( \angle KAN = x \). \( \angle KBN = ? \). \( \angle KNA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \).
76. \( \angle MAK = \frac{1}{2} \text{дуга MK} = 38^{\circ} \). \( \angle NAK = x \).
77. \( \angle MA N = \angle MA K + \angle KAN = 38^{\circ} + x \).
78. \( \angle KNA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \). \( \angle KMA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \).
79. \( \angle KNA = \angle KMA \).
80. \( \angle MON = 180^{\circ} \) (диаметр). \( \angle KAN = x \).
81. \( \angle AON = 45^{\circ} \). \( \angle MOK = 76^{\circ} \). \( \angle NOK = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).
82. \( \angle KAN = x \). \( \angle KBN \). \( \angle KNA = \frac{1}{2} \text{дуга KA} \). \( \angle KAN = x \). \( \angle MAK = 38^{\circ} \).
83. \( \angle ANM = 22.5^{\circ} \). \( \angle KNM = 38^{\circ} \).
84. \( \angle KNA = \angle KNM + \angle MNA = 38^{\circ} + 22.5^{\circ} = 60.5^{\circ} \).
85. \( \angle KAN = x \). \( \angle KNA = 60.5^{\circ} \).
86. \( \angle MAN = ? \).
87. \( \angle MAN = \frac{1}{2} \text{дуга MN} \). \( \angle MON = 180^{\circ} \) (диаметр). \( \angle M K N = \frac{1}{2} \text{дуга MN} \).
88. \( \angle KAN = x \). \( \angle KNA = 60.5^{\circ} \). \( \angle AKN = ? \).
89. \( \angle MAN = \frac{1}{2} (180^{\circ} - 76^{\circ} - 45^{\circ}) \) - неверно.
90. \( \angle M O N = 180^{\circ} \). \( \angle M O K = 76^{\circ} \). \( \angle K O N = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \). \( \angle A O N = 45^{\circ} \). \( \angle A O M = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \). \( \angle K O A = 180^{\circ} - 104^{\circ} - 45^{\circ} \) - неверно.
91. \( \angle K O M = 76^{\circ} \). \( \angle M O A = 180^{\circ} \) (диаметр). \( \angle K O A = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \). \( \angle A O N = 45^{\circ} \). \( \angle K O N = \angle K O A + \angle A O N = 104^{\circ} + 45^{\circ} = 149^{\circ} \) - неверно.
92. \( \angle K O N = 104^{\circ} \). \( \angle A O N = 45^{\circ} \). \( \angle K O A = \angle K O N - \angle A O N = 104^{\circ} - 45^{\circ} = 59^{\circ} \).
93. \( \angle KAN = x \) — вписанный угол, опирающийся на дугу KN. \( \text{Дуга KN} = \angle KON = 104^{\circ} \).
94. \( x = \angle KAN = \frac{1}{2} \text{дуга KN} = \frac{1}{2} \times 104^{\circ} = 52^{\circ} \).

Ответ: x = 52°.