7. В равностороннем треугольнике ABC, O — центр вписанной окружности. AD — высота. AB = 10. Найдите OD.

Решение:

1. В равностороннем треугольнике ABC все углы равны \( 60^{\circ} \).
2. AD — высота, значит, \( \angle ADB = 90^{\circ} \).
3. В треугольнике ABD: \( \angle BAD = 30^{\circ} \), \( \angle ABD = 60^{\circ} \), \( \angle ADB = 90^{\circ} \).
4. AB = 10.
5. AD — высота и медиана. \( BD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \).
6. \( AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \).
7. O — центр вписанной окружности, который в равностороннем треугольнике совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.
8. O делит медиану AD в отношении 2:1, считая от вершины A.
9. \( AO = \frac{2}{3} AD \), \( OD = \frac{1}{3} AD \).
10. \( OD = \frac{1}{3} \times 5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: OD = \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\).