6*. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции, если известно, что боковая сторона в два раза меньше большего основания.

Обозначим большее основание через B, меньшее — через b, а боковую сторону — через l. По условию l = B/2. Горизонтальная проекция боковой стороны равна (B − b)/2, а горизонтальная проекция диагонали — (B + b)/2.

Из перпендикулярности диагонали и боковой стороны следует, что квадрат высоты трапеции равен произведению этих проекций: h² = (B² − b²)/4. С другой стороны, l² = h² + ((B − b)/2)², поэтому l² = (B² − b²)/2.

Подставляя l = B/2, получаем b² = B²/2, то есть b/B = 1/√2. Для острого угла α тангенс равен отношению высоты к горизонтальной проекции боковой стороны:

tg α = √((B + b)/(B − b)) = 1 + √2 = tg 67,5°.

Соседние углы трапеции в сумме дают 180°.

Ответ: 67,5° и 112,5°.