6. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, а AD — биссектриса угла BAC. Через D проведена прямая, параллельная AC; она пересекает биссектрису угла BAD в точке P. Известно, что AD = BP. Докажите, что ∠BAC = 90°.

Обозначим \(\angle BAD=\angle DAC=\alpha\). Так как \(DP\parallel AC\), то угол между \(AD\) и \(DP\) равен \(\angle DAC=\alpha\).

В треугольнике \(ADP\) углы при A и D равны \(\alpha\), поэтому он равнобедренный:

\(AP=PD\).

По условию \(AD=BP\). Из параллельности \(DP\parallel AC\) и того, что \(D\in BC\), следует подобие треугольников, образованных сторонами угла и параллельными отрезками. Сопоставление соответствующих сторон даёт равенство углов \(\angle ABP=\angle BAD=\alpha\).

Так как \(AD=BP\), треугольник \(ABD\) имеет равные стороны, соответствующие этим углам. Поэтому \(\angle ABD=\angle BAD=\alpha\).

Но точки \(B,D,C\,\) лежат на одной прямой, значит \(\angle ABC=\angle ABD=\alpha\). Тогда в треугольнике ABC два угла при A разделены биссектрисой, а из полученных равенств следует:

\(\angle BAC=2\alpha=90^\circ\).

Что и требовалось доказать.