6) Вычислите интеграл ∫_{-1}^{2} (3x² + 2x - 5x⁴) dx.

Решение:

Найдём первообразную для функции \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5x^4 \).

Первообразная \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = \int (3x^2 + 2x - 5x^4) dx = 3 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^2}{2} - 5 \frac{x^5}{5} + C = x^3 + x^2 - x^5 + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

В нашем случае \( a = -1 \) и \( b = 2 \).

\[ \int_{-1}^{2} (3x^2 + 2x - 5x^4) dx = [x^3 + x^2 - x^5]_{-1}^{2} \]

Подставим верхний предел \( x = 2 \):

\[ F(2) = 2^3 + 2^2 - 2^5 = 8 + 4 - 32 = 12 - 32 = -20 \]

Подставим нижний предел \( x = -1 \):

\[ F(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - (-1)^5 = -1 + 1 - (-1) = -1 + 1 + 1 = 1 \]

Вычислим разность:

\[ F(2) - F(-1) = -20 - 1 = -21 \]

Ответ: -21