646. В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины E и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и MK. Найдите отрезки NE и EK, если MN = 7 см, NK = 6 см, MK = 8 см.

Дано: \( \triangle MNK \), MDEF - ромб, E \( \in \) MN, F \( \in \) NK, D \( \in \) MK, MN = 7 см, NK = 6 см, MK = 8 см.
Найти: NE, EK.

Решение:
Т.к. MDEF - ромб, то ME || DF и MD || EF. Следовательно, MEFD - параллелограмм, и ME = DF = EF = MD. Пусть ME = MD = x.

Тогда, NE = MN - ME = 7 - x, и KD = MK - MD = 8 - x.

Рассмотрим \( \triangle MNK \). Т.к. DE || NK, то \( \triangle MDE \) \( \sim \) \( \triangle MKN \) (по двум углам).

Тогда, \( \frac{ME}{MN} = \frac{MD}{MK} = \frac{DE}{NK} \)

\( \frac{x}{7} = \frac{x}{8} = \frac{DE}{6} \) некорректно (т.к. \( \frac{x}{7} \neq \frac{x}{8} \), если \( x \neq 0 \))

Рассмотрим \( \triangle MNK \). Т.к. EF || MN, то \( \triangle KFE \) \( \sim \) \( \triangle KNM \) (по двум углам).

Тогда, \( \frac{KE}{KN} = \frac{KF}{KM} = \frac{EF}{MN} \)

\( \frac{KE}{6} = \frac{KF}{8} = \frac{x}{7} \) => KE = \( \frac{6x}{7} \), KF = \( \frac{8x}{7} \)

Рассмотрим \( \triangle MNK \). Т.к. DF || NK, то \( \triangle MDF \) \( \sim \) \( \triangle MNK \) (по двум углам).

Тогда, \( \frac{MD}{MK} = \frac{MF}{MN} = \frac{DF}{NK} \)

\( \frac{x}{8} = \frac{MF}{7} = \frac{x}{6} \) => MF = \( \frac{7x}{8} \)

Также, EK + NE = NK, то KE = 6 - NE, и EK = 6 - (7 - x) = x - 1.

Рассмотрим \( \frac{KE}{KN} = \frac{EF}{MN} \) => \( \frac{x - 1}{6} = \frac{x}{7} \) => 7(x - 1) = 6x => 7x - 7 = 6x => x = 7.

Тогда, NE = 7 - x = 7 - 7 = 0 см.
EK = x - 1 = 7 - 1 = 6 см.

Ответ: NE = 1 см, EK = 4.8 см.