Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Доказательство:
Пусть даны два подобных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), где \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \).
Пусть \( h_b \) - высота, проведенная к стороне AC в \( \triangle ABC \), \( h_{b1} \) - высота, проведенная к стороне \( A_1C_1 \) в \( \triangle A_1B_1C_1 \).
Площадь треугольника можно выразить как половину произведения основания на высоту:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} * AC * h_b \)
\( S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} * A_1C_1 * h_{b1} \)
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
\( \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \)
Подставим выражения для площадей:
\( \frac{\frac{1}{2} * AC * h_b}{\frac{1}{2} * A_1C_1 * h_{b1}} = k^2 \)
\( \frac{AC * h_b}{A_1C_1 * h_{b1}} = k^2 \)
Т.к. \( \frac{AC}{A_1C_1} = k \), то \( AC = k * A_1C_1 \).
Подставим это в предыдущее уравнение:
\( \frac{k * A_1C_1 * h_b}{A_1C_1 * h_{b1}} = k^2 \)
\( \frac{k * h_b}{h_{b1}} = k^2 \)
\( \frac{h_b}{h_{b1}} = k \)
Следовательно, \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{h_b}{h_{b1}} = k \).
Что и требовалось доказать.
Пусть даны два подобных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), где \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \).
Пусть \( h_b \) - высота, проведенная к стороне AC в \( \triangle ABC \), \( h_{b1} \) - высота, проведенная к стороне \( A_1C_1 \) в \( \triangle A_1B_1C_1 \).
Площадь треугольника можно выразить как половину произведения основания на высоту:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} * AC * h_b \)
\( S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} * A_1C_1 * h_{b1} \)
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
\( \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 \)
Подставим выражения для площадей:
\( \frac{\frac{1}{2} * AC * h_b}{\frac{1}{2} * A_1C_1 * h_{b1}} = k^2 \)
\( \frac{AC * h_b}{A_1C_1 * h_{b1}} = k^2 \)
Т.к. \( \frac{AC}{A_1C_1} = k \), то \( AC = k * A_1C_1 \).
Подставим это в предыдущее уравнение:
\( \frac{k * A_1C_1 * h_b}{A_1C_1 * h_{b1}} = k^2 \)
\( \frac{k * h_b}{h_{b1}} = k^2 \)
\( \frac{h_b}{h_{b1}} = k \)
Следовательно, \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{h_b}{h_{b1}} = k \).
Что и требовалось доказать.
