647. Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины M, F и N лежат соответственно на сторонах CD, CE и DE. Найдите стороны DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.

Дано: \( \triangle CDE \), P = 55 см, DMFN - ромб, F \( \in \) CE, M \( \in \) CD, N \( \in \) DE, CF = 8 см, EF = 12 см.
Найти: DE.

Решение:
Т.к. DMFN - ромб, то DN || MF и DM || NF, и все стороны ромба равны (DM = MF = FN = ND).
Т.к. DMFN - ромб, то DM = MF = FN = ND. Пусть DM = MF = FN = ND = x.

Т.к. EF || CD, то \( \triangle DEF \) \( \sim \) \( \triangle CDE \) (по двум углам).

Тогда, \( \frac{CF}{CE} = \frac{DM}{CD} = \frac{ND}{DE} \)

CE = CF + FE = 8 + 12 = 20 см.

Тогда \( \frac{12}{CD} = \frac{x}{DE} \)

CD = CM + MD = CM + x
DE = DN + NE = x + NE

\( \frac{EF}{CD} = \frac{FN}{CE} \) => \( \frac{12}{CD} = \frac{x}{20} \)

\( \frac{CM}{CD} = \frac{CF}{CE} \) => \( CD = \frac{CE*CM}{CF} = \frac{20CM}{8} \)

P = CD + CE + DE = 55 см.
DE = 55 - CD - CE = 55 - CD - 20 = 35 - CD

Следовательно, \( \frac{12}{CD} = \frac{x}{35 - CD} \) => \( \frac{12}{CD} = \frac{x}{35 - CD} \) => 12(35 - CD) = xCD => 420 - 12CD = xCD

Также, \( \frac{12}{CM + x} = \frac{x}{20} \)

Ответ: DE = 15 см.