652 На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что \(\overset\frown{AC} = 37°\), \(\overset\frown{BD} = 23°\). Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см.

Решение:

1. Центральный угол \(\angle AOC = \overset\frown{AC} = 37°\) и \(\angle BOD = \overset\frown{BD} = 23°\).
2. \(\angle COD = 180° - \angle AOC - \angle BOD = 180° - 37° - 23° = 120°\).
3. Используем теорему косинусов для нахождения хорды CD в треугольнике COD: \(CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 \cdot OC \cdot OD \cdot \cos(\angle COD)\).
4. Так как OC и OD — радиусы, то \(OC = OD = 15 \) см.
5. \(CD^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120°)\).
6. \(CD^2 = 225 + 225 - 450 \cdot (-\frac{1}{2})\).
7. \(CD^2 = 450 + 225 = 675\).
8. \(CD = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(15\sqrt{3}\) см.