658 Через точку А к данной окружности проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите \(\angle BAD\) и \(\angle ADB\), если \(\overset\frown{BD} = 110°20'\).

Решение:

1. Касательная AB перпендикулярна радиусу OB, проведенному в точку касания. Значит, \(\angle ABO = 90°\).
2. Угол \(\angle ADB\) — вписанный, он опирается на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на дугу BD, равен \(\angle BOD = 110°20'\).
3. Центральный угол \(\angle AOB\) равен \(360° - 180° - 110°20' = 70°40'\) (так как AD — диаметр, \(\angle AOD = 180°\)).
4. \(\overset\frown{AB} = \angle AOB = 70°40'\).
5. \(\angle ADB = \frac{1}{2} \overset\frown{AB} = \frac{1}{2} \cdot 70°40' = 35°20'\).
6. В прямоугольном треугольнике ABD (так как угол ABD опирается на диаметр AD), \(\angle BAD = 90° - \angle ADB\).
7. \(\angle BAD = 90° - 35°20' = 54°40'\).

Ответ: \(\angle BAD = 54°40'\), \(\angle ADB = 35°20'\).