659 Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные хорды AB и CD.

Проведем радиус OC и перпендикуляр OM к хорде CD. Так как OM перпендикулярен CD, то OM делит дугу CD пополам, т.е. \(\overset\frown{CM} = \text{ extcircled{} MD}\).

Так как AB || CD, то расстояние от точки A до прямой CD равно расстоянию от точки B до прямой CD. Опустим перпендикуляры OA' и OB' на CD. Тогда OA' = OB'. Следовательно, дуги CA' и DB' равны, а значит, равны и дуги AC и BD.

Более строгое доказательство:

1. Пусть AB || CD.
2. Проведем секущую AC.
3. Угол \(\angle BAC\) и угол \(\angle ACD\) являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Значит, \(\angle BAC = \text{ extcircled{} ACD}\).
4. Вписанный угол \(\angle BAC\) опирается на дугу BC.
5. Вписанный угол \(\angle ACD\) опирается на дугу AD.
6. Так как \(\angle BAC = \text{ extcircled{} ACD}\), то и дуги, на которые они опираются, равны: \(\overset\frown{BC} = \text{ extcircled{} AD}\).

Что и требовалось доказать.